Справка - Поиск - Участники - Войти - Регистрация
Полная версия: ТФ-концепция сущности математики
Частный клуб Алекса Экслера > Наука и техника
Страницы: 1, 2, 3, 4
Р.Думминич
12 января 2012, 21:51
      На обсуждение ставится «ТФ-концепция» сущности математики. Полный текст доступен по двум адресам:
а) в ЖЖ: http://r-dumminich.livejournal.com/ - можно открыть одним щелчком и почитать, но там кустарно отформатированный текст;
а) аккуратно отформатированный WORD-файл для скачивания: http://depositfiles.com/files/v8105mpgm .    Спойлер!
Нажать «бесплатно» (номер телефона не вводить и СМС не отправлять!); подождать минуту (на сайте идет счет секунд); потом ввести копию кода (капчу); загрузить файл (около 150 Кб, всего несколько секунд).

      Чтобы ссылки не были «котом в мешке», ниже приводится краткое описание концепции. Прошу уважаемых участников обратить внимание, что это краткое описание не ставится на обсуждение! В полном тексте имеется много дополнительных разъяснений, примеров, ответов на возможные вопросы и т.д. Оглавление находится в начале.

      ТФ-концепция сущности чистой математики опирается на позицию Ж.Дьедонне:
«... источником основных математических понятий, таких, как число или пространство, является чувственный опыт. … Однако необходимо сразу же отметить ... : математические объекты, претендующие на выражение этих опытных понятий, наделяются математиками такими свойствами, которые явно выходят за пределы опыта».

      Спрашивается, где же формулируются свойства «математических объектов», «явно выходящие за пределы опыта», о которых пишет Ж.Дьедонне? В аксиомах? Но ведь аксиомы, на которые опирается, скажем, геометрия Евклида, почти всегда старались увязать именно с основанной на опыте очевидностью. А вот у самого Евклида постулатам предшествуют описания («Точка … есть то, что не имеет частей»). В приведенном описании как раз и сформулировано свойство точки, явно выходящее за пределы опыта. Однако с развитием аксиоматического метода этой частью наследия Евклида стали пренебрегать.

     ОБЪЕКТЫ МЫШЛЕНИЯ

     Если человек использует в мышлении представления или понятия о каких-либо объектах, то будем говорить, что эти объекты являются объектами его мышления.
ПРИМЕР: человек думает о конкретном дереве, растущем в его саду; тогда именно это реальное дерево, согласно данному определению, будет считаться объектом его мышления. Заметим, что объектом мышления может быть и фантастический объект, и процесс.
      При использовании предложенного термина требуется осторожно обращаться с обычным языком и в ряде случаев детально разбираться, что именно является объектом мышления и в каком именно процессе мышления мы ищем объект. Как пример этого разобраны два парадоксальных высказывания: «в одну реку нельзя войти дважды» (© Гераклит), и фраза «в моем воображении возникла березка, растущая в моем саду» (где же находится березка?). После разбора уточняется, в каком смысле можно говорить «объект А находится не только в воображении» (ситуация с березкой в приведенной фразе) и в каком смысле - «объект А находится только в воображении» (скажем, воображается говорящая золотая рыбка).


      ДВА СПЕЦИАЛЬНЫХ ВИДА ОПИСАНИЙ

ТОЧНОЕ ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТОВ МЫШЛЕНИЯ

Описание объектов мышления назовем точным, если оно, как правило, однозначно понимается исследователями, область профессиональных интересов которых включает описываемые объекты.


ПРИМЕРЫ некоторых типов описаний, которые могут быть точными:
- изображение (или название) натурального числа;
- определение, в котором описывается, как новый объект мышления конструируется из других объектов мышления, имеющих точное описание.

ОТВЛЕЧЕННОЕ ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТОВ МЫШЛЕНИЯ

Описание объектов мышления назовем отвлеченным, если, согласно описанию, объекты не предполагаются обязательно функционирующими в действительном мире, реально взаимодействующими с ним, имеющими с ним общие части или характеризующими действительный мир или его части.


ПРИМЕРЫ некоторых типов описаний, которые могут быть отвлеченными:

а) описание объекта мышления, находящегося только в воображении, путем сопоставления с каким-либо классом общеизвестных, привычных и простых в использовании реальных объектов с указанием, в частности, тех конкретных свойств последних, которые заменяются другими, представляющимися невозможными для реальных объектов. Например, объект «множество» (который используют в математике) можно описать как находящийся только в воображении объект, аналогичный реальному мешку в отношении свойства быть пустым или содержать что-либо, но, в отличие от реального мешка, обладающий неограниченной способностью охвата объектов, даже находящихся в то же время в других «мешках»;
б) дополнение описания путем указания свойств, постулируемых для объектов мышления;
в) изображение или название абстрактного символа.
ПРИМЕР описания, не являющегося отвлеченным:
если «материальная точка» описана как объект, сочетающий свойства математической точки и физического тела и рассматриваемый в воображении движущимся в реальном мире (или иначе взаимодействующим с ним), то такое описание не является отвлеченным.
ПРИМЕР описания, одновременно отвлеченного и точного:
простая геометрическая точка – находящийся только в воображении объект, аналогичный очень маленькому пятну, но отличающийся от любого маленького пятна тем, что меньше его и не может быть разделен на разные части.


      МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

      Математический объект - это объект мышления, находящийся только в воображении и получающий со временем адекватное точное отвлеченное описание.

      ПОЯСНЕНИЕ: адекватность устанавливается практикой.

      НАТУРАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

      Воображаемое помещение математических объектов в действительный мир, а также их применение (в том числе воображаемое) для изучения действительного мира назовем натурализацией этих математических объектов.


      ОТВЛЕЧЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
      Характеристику математического объекта назовем отвлеченной, если эта характеристика не включает натурализацию данного объекта.
ПРИМЕР характеристики, не являющейся отвлеченной:
характеристика числа 7 как количества главных звезд Большого Ковша созвездия Большой Медведицы.

      СУЩНОСТЬ ЧИСТОЙ МАТЕМАТИКИ

     Чистая математика, действуя на основе свободы мышления, занимается решением и разработкой методов решения таких задач, как нахождение или создание математических объектов для исследования, обнаружение и доказательство их отвлеченных характеристик; при этом, чтобы избежать путаницы и противоречий в утверждениях или устранить их, уточняются используемые понятия, выверяется логика умозаключений и предъявляются основания всех суждений о математических объектах.
     ПОЯСНЕНИЕ: свобода мышления позволяет рассматривать объекты и их части, именовать их, группировать в воображении различными способами и т.д.

      В работе критически рассмотрен ряд формулировок сущности математики, принадлежащих другим авторам (§1). Приведены примеры использования ТФ-концепции (§3) - размежевание математики и информатики, решение «парадокса Литтлвуда», преподавание и применение математики, а также ответы на ряд возможных вопросов (§4 и §5). ТФ-концепция допускает дальнейшую разработку и применение. Название концепции связано с тем, что при весьма упрощенном изложении концепции математику можно образно охарактеризовать как Точную Фантазию.

Лукерья
12 января 2012, 22:50
Многабукф. Чо сказать-то хотел?

Р.Думминич написал: Прошу уважаемых участников обратить внимание, что это краткое описание не ставится на обсуждение!

Тогда это раскрутка ресурса.

Р.Думминич написал:  ТФ-концепция сущности чистой математики опирается на позицию Ж.Дьедонне:

О которой имеются разные мнения.

Р.Думминич написал: Но ведь аксиомы, на которые опирается, скажем, геометрия Евклида, почти всегда старались увязать именно с основанной на опыте очевидностью.

Это не значит, что оно верно для всех аксиом.

Р.Думминич написал: Описание объектов мышления назовем точным, если оно, как правило, однозначно понимается исследователями, область профессиональных интересов которых включает описываемые объекты.

Так точными или как правило? Исследование же к математике не имеет никакого отношения, потому что занимается изучением реальных объектов.

Р.Думминич написал: Математический объект - это объект мышления, находящийся только в воображении и получающий со временем адекватное точное отвлеченное описание.
      ПОЯСНЕНИЕ: адекватность устанавливается практикой.

О какой практике речь в математике?

Р.Думминич написал: Название концепции связано с тем, что при весьма упрощенном изложении концепции математику можно образно охарактеризовать как Точную Фантазию.

Назвать можно хоть горшком. В твоем описании особой точности я не вижу. Понятие фантазия в общем смысле хотя и имеет отношение к математике (как образное моделирование предполагаемых или желательных процессов) но только как ее совсем небольшая часть.
Martin
12 января 2012, 22:58
Похоже, тут будет весело. smile.gif
Р.Думминич
12 января 2012, 23:34

Лукерья написала: Чо сказать-то хотел?

Уважаемая Лукерья! Прежде всего хочу поблагодарить Вас за то, что именно Вы открыли прения по предложенной теме. В связи с этим, а также поздним временем суток smile4.gif ограничусь пока тем пунктом Вашего сообщения, где у нас консенсус.

Лукерья написала: О которой имеются разные мнения.

ППКС!
По остальным Вашим замечаниям начну отвечать завтра, поскольку люблю подумать, прежде, чем отвечать.    Спойлер!
Буду рад, если и в этом мы с Вами сойдемся вкусами.
Панда
12 января 2012, 23:42
Позволила ли ТФ-концепция решить какую-то математическую проблему, которую не удавалось решить без ТФ-концепции? Или хотя бы решить ее более красиво?
Р.Думминич
13 января 2012, 11:06

Лукерья написала: Р.Думминич написал: Описание объектов мышления назовем точным, если оно, как правило, однозначно понимается исследователями, область профессиональных интересов которых включает описываемые объекты.

Так точными или как правило?

Противоречие, которое требовало бы выбрать одно из них, отсутствует. «Точным» относится к описанию, а «как правило» - к однозначности понимания.

Р.Думминич написал: ПОЯСНЕНИЕ: адекватность устанавливается практикой.

Лукерья написала: О какой практике речь в математике?

Имеется в виду в основном практика формулирования и доказательства теорем (то есть практика математической деятельности). Например, понятие предела функции использовалось в математике очень долго без внятного определения. Но вот уже более полутора веков это понятие используется в математике в смысле определения Коши. И эта полуторавековая практика использования свидетельствует об адекватности данного определения.   Спойлер!
Продолжение следует

Р.Думминич
13 января 2012, 11:35

Панда написал: Позволила ли ТФ-концепция решить какую-то математическую проблему, которую не удавалось решить без ТФ-концепции? Или хотя бы решить ее более красиво?

Начну с того, что ТФ-концепция — вещь новая. Поэтому интереснее будет ответить на данный вопрос, повернув его к будущему времени. По отношению к математической теореме, определению или целой математической теории данный вопрос звучал бы вполне естественно, но ТФ-концепция не является частью математики. Поэтому она в принципе вряд ли может напрямую влиять на решение какой-то конкретной математической проблемы. Это не ее задача.

Основные направления применения ТФ-концепции :
а) размежевание математики с другими науками;
б) правильное взаимодействие математики с другими науками;
в) методика преподавания математики.
Abstraction
13 января 2012, 12:09

Р.Думминич написал: правильное взаимодействие математики с другими науками

Определите "правильное", пожалуйста.

Р.Думминич написал: источником основных математических понятий, таких, как число или пространство, является чувственный опыт

Ок. Бурбаки, "Теория множеств", страница 31 нового издания. "Логические знаки", "буквы", "знакосочетания". Не совсем чувственный опыт, но вещи вполне мыслимые и легко представимые.
Там же, страница 117 - вывод "аксиомы выбора" из свойств перечисленного выше. Она вполне явно не относится к вещам, источником которых может быть чувственный опыт.
Другими словами, определите для начала "основные математические понятия".
(Вдобавок, "пространство" не является математическим понятием, насколько мне известно.)

Р.Думминич написал: «в моем воображении возникла березка, растущая в моем саду»

Фраза неверна. В моём воображении не "возникла" сущность, тождественная сущности "берёзка в моём саду" (хотя бы потому, что количество атомов во второй превышает количество клеток моего мозга).

Р.Думминич написал: объект «множество» (который используют в математике) можно описать как находящийся только в воображении объект, аналогичный реальному мешку в отношении свойства быть пустым или содержать что-либо, но, в отличие от реального мешка, обладающий неограниченной способностью охвата объектов, даже находящихся в то же время в других «мешках»

Нельзя. Или, во всяком случае, пока ни у кого не получилось непротиворечивым образом.

Р.Думминич написал: «материальная точка» описана как объект, сочетающий свойства математической точки и физического тела

Что такое "математическая точка"?

Р.Думминич написал: Описание объектов мышления назовем точным, если оно, как правило, однозначно понимается исследователями, область профессиональных интересов которых включает описываемые объекты.


Р.Думминич написал: изображение (или название) натурального числа

Описание словесной формулы "натуральное число" не является точным, так как включено в область профессиональных интересов математиков-теоретиков и кладовщиков на складе; они оперируют существенно разными определениями.

Р.Думминич написал: простая геометрическая точка – находящийся только в воображении объект, аналогичный очень маленькому пятну, но отличающийся от любого маленького пятна тем, что меньше его и не может быть разделен на разные части

Определите "аналогичный". Определите "меньше" - это что, отношение порядка на множестве... чего? Напоминаю, что множества всех объектов не существует в современных аксиоматиках. Определите "пятно". Определите "разделён" (если что, множество из одной точки является объединением множества из этой точки и пустого множества, их пересечение пусто).
Без этого исследователи объекта "геометрическая точка" от математики не в состоянии однозначно понять приведённое описание и, соответственно, оно не является точным описанием.

Р.Думминич написал: Воображаемое помещение математических объектов в действительный мир, а также их применение (в том числе воображаемое) для изучения действительного мира назовем натурализацией этих математических объектов.

В таком определении любая математическая сущность может быть натурализована.

И, конечно же, с необходимостью следует сформулировать определение "воображения", "воображаемого", "помещения".
Abstraction
13 января 2012, 12:36
Ах да, и по ЖЖ:

Можно сделать вывод, что парадокс (Литтлвуда) находился не внутри математики (и это естественно, так как непротиворечивость математики была неплохо обоснована в ХХ веке). Время не является математическим объектом.

а) "неплохо обоснована" - это неплохо сказано. Вы можете обосновать непротиворечивость натуральной арифметики?
б) логически, парадокс Литтлвуда не есть парадокс, это есть контринтуитивный логичный результат.
в) не только время, но и шары не являются математическими объектами. Вместе с тем, возможно построение математической модели опыта (скажем, как семейства подмножеств N, индексированного членами последовательности 2^(-n)) без использования понятий "шара" или "времени".
Р.Думминич
13 января 2012, 16:51
1.

Abstraction написал: Р.Думминич написал: источником основных математических понятий, таких, как число или пространство, является чувственный опыт

Р.Думминич написал:  ТФ-концепция ... опирается на позицию Ж.Дьедонне: «... источником основных математических понятий, таких, как число или пространство, является чувственный опыт. … »

Ж.Дьедонне, как известно, был крупным математиком, одним из основателей группы Бурбаки, создавшей своего рода энциклопедию математики 20-го века, актуальную до сих пор. Авторство приведенной мною цитаты легко проверить, набрав ее в поисковике.

Abstraction написал: определите для начала "основные математические понятия".
(Вдобавок, "пространство" не является математическим понятием, насколько мне известно.)

Фактически Вы возражаете Ж.Дьедонне. Вы всерьез думаете, что он плохо разбирался в основных математических понятиях (в частности, ошибочно отнеся к ним понятие пространства)?
2.

Р.Думминич написал: Воображаемое помещение математических объектов в действительный мир, а также их применение (в том числе воображаемое) для изучения действительного мира назовем натурализацией этих математических объектов.

Abstraction написал: В таком определении любая математическая сущность может быть натурализована.

Да, конечно.
Понятие натурализации существенно используется в п.2.5 (с.16 основного текста) — определении отвлеченной характеристики. Чистой математике, согласно ТФ-концепции, свойственно как раз то, что внутри нее натурализация математических объектов не применяется.
3.

Abstraction написал: возможно построение математической модели опыта (скажем, как семейства подмножеств N, индексированного членами последовательности 2^(-n)) без использования понятий "шара" или "времени".

Не имеется ли в виду сказанное на с.18 основного текста: «Аналогично можно определить на нашем множестве отображение, значениями которого являются не количества, а множества чисел в "ящике" Литтлвуда» и далее?    Спойлер!
Продолжение следует.
Abstraction
13 января 2012, 17:54

Р.Думминич написал: Фактически Вы возражаете Ж.Дьедонне. Вы всерьез думаете, что он плохо разбирался в основных математических понятиях (в частности, ошибочно отнеся к ним понятие пространства)?

Я задаю вопрос к приведённой фразе. Я не знаю, как она звучала в оригинале и не имею возможности спросить господина Дьедонне, что он подразумевал.
Но Вы приводите данную цитату так, как если бы понимали её смысл и были с ним согласны. Вот у Вас я этот смысл и уточняю, потому как мне он - пока, - недоступен совершенно явно.

Р.Думминич написал: Не имеется ли в виду сказанное на с.18 основного текста

Нет, потому что там, на мой взгляд, происходит смешение формального и интуитивного, чего нельзя делать категорически.
Вот, для примера:

Р.Думминич написал: Понятие натурализации существенно используется в п.2.5 (с.16 основного текста) — определении отвлеченной характеристики.

Слово "характеристика" встречается в тексте 14 раз. По крайней мере первое вхождение подразумевает использование слова в словарном смысле. По крайней мере шестое и седьмое вхождение подразумевает использование этого слова как специального термина в рамках формулируемой теории.

Характеристику математического объекта назовем отвлеченной, если эта характеристика не включает натурализацию данного объекта.

Определения термина "характеристика" при этом отдельно не даётся. Более того, вопрос о том, включает ли некоторая характеристика натурализацию, относится к числу, самое лучшее, дискуссионных.

Характеристика числа 0 как граничной температуры по Цельсию между жидким и твердым состоянием воды.

В данном случае для температуры используется знак "0"; в любом случае, сущность "ноль поля вещественных чисел" в ней либо не фигурирует, либо характеристика ложна.

Характеристика числа 7 как количества главных звезд Большого Ковша созвездия Большой Медведицы.

Сущность "7 из множества N" здесь не фигурирует, ввиду того, что количество не есть математическое множество; количество не есть и сущность, определяемая аксиомами Пеано, ни что либо ещё, удовлетворяющее определению элементов из N, либо "количество" оказывается несовместимо с реальными объектами вроде звёзд, либо утверждение оказывается абсурдно. (Это ещё если забыть о том, что Дубхе - тройная звезда.)
Р.Думминич
14 января 2012, 09:48

Лукерья написала: Р.Думминич написал: Но ведь аксиомы, на которые опирается, скажем, геометрия Евклида, почти всегда старались увязать именно с основанной на опыте очевидностью.

Это не значит, что оно верно для всех аксиом.

Это возражение или нейтральное замечание?   Спойлер!
Продолжение следует

Р.Думминич
14 января 2012, 20:39

Abstraction написал:
Р.Думминич написал: правильное взаимодействие математики с другими науками

Определите "правильное", пожалуйста.

Определять, пожалуй, не буду, но поясню смысл строки.
Имеется в виду взаимодействие без таких ошибок, одной из причин которых является неверное понимание сущности математики.
Некоторые примеры приведены в основном тексте (с.19, 2-й абзац).
Другой пример — обсуждаемая здесь ТФ-концепция.

Р.Думминич написал: ТФ-концепция не является частью математики.

Если думать иначе, то могут возникнуть ошибки — скажем, требование доказательства новых теорем с помощью ТФ-концепции или трактовка используемых в ее описании слов как плохо определенных математических терминов.

Abstraction написал: Р.Думминич написал: «в моем воображении возникла березка, растущая в моем саду»

Фраза неверна. В моём воображении не "возникла" сущность, тождественная сущности "берёзка в моём саду" (хотя бы потому, что количество атомов во второй превышает количество клеток моего мозга).

Уточню. В основном тексте сказано (с.11, 1-й абзац):
рассмотрим фразу «в моем воображении возникла березка, растущая в моем саду».
При этом не утверждалось, что фраза верна, а обсуждался вопрос о понимании данной фразы (с.11-12). На с.11 2-й и 3-й абзацы (начинающиеся словами «С одной стороны» и «С другой стороны») показывают те варианты понимания, которые создают впечатление парадокса. Далее идет анализ показанной ситуации.
Таким образом, Ваше замечание IMHO не имеет предмета в моем тексте.
Р.Думминич
16 января 2012, 08:43

Лукерья написала: В твоем описании особой точности я не вижу.

Просьба конкретизировать: если Вы видите какое-либо особо неточное место, то какое.    Спойлер!
Конечно, ТФ-концепция не претендует на такую точность, как в математике, но все же точность является положительным ориентиром.
Abstraction
16 января 2012, 12:25

Р.Думминич написал: Имеется в виду взаимодействие без таких ошибок, одной из причин которых является неверное понимание сущности математики.

Такую причину можно утверждать для любой ошибки.

Р.Думминич написал: Просьба конкретизировать: если Вы видите какое-либо особо неточное место, то какое.

Например, я не вижу примеров точных описаний объектов мышления, хотя существование таковых утверждается.
Также, описано "множество" наподобие множества теории Кантора, являющегося объектом противоречивой аксиоматики.
Также достаточно неточно определена "отвлечённая" характеристика.
   Спойлер!
И объясните, на кой все эти "продолжение следует"? Читающие тему и так способны определить, остались ли вопросы, на которые не было дано ответа.
Р.Думминич
16 января 2012, 21:41

Р.Думминич написал (п.3.3 с.18 основного текста):
Можно сделать вывод, что парадокс находился не внутри математики (и это естественно, так как непротиворечивость математики была неплохо обоснована в ХХ веке).

Abstraction написал: а) "неплохо обоснована" - это неплохо сказано. Вы можете обосновать непротиворечивость натуральной арифметики?

Обсуждаемое высказывание приведено в скобках, как краткое примечание к уже готовому к этому моменту выводу. Но я готов данное высказывание пояснить. «Неплохо обоснована» - это оценочное суждение. Имеется в виду появление в 20-м веке таких теорем и соображений, которые существенно усилили позицию уверенности, что никаких противоречий в арифметике ожидать не приходится. Например, появление доказательств теорем, формулировка которых (теорем) означает: натуральная арифметика непротиворечива.

Р.Думминич
18 января 2012, 15:45

Р.Думминич написал (п.2.2 с.13 основного текста):
объект «множество» (который используют в математике) можно описать как находящийся только в воображении объект, аналогичный реальному мешку в отношении свойства быть пустым или содержать что-либо, но, в отличие от реального мешка, обладающий неограниченной способностью охвата объектов, даже находящихся в то же время в других «мешках»

Abstraction написал: Нельзя. Или, во всяком случае, пока ни у кого не получилось непротиворечивым образом.

Упрек принимается, спасибо, но только в отношении слова «неограниченной». Ошибка легко исправима.

ОБЪЯВЛЕНИЕ об исправлении
Процитированную фразу из п.2.2 с.13 основного текста ТФ-концепции просьба в дальнейшем читать без слова «неограниченной».


Abstraction написал:
Р.Думминич написал: Описание объектов мышления назовем точным, если оно, как правило, однозначно понимается исследователями, область профессиональных интересов которых включает описываемые объекты.
Р.Думминич написал: изображение (или название) натурального числа

Описание словесной формулы "натуральное число" не является точным, так как включено в область профессиональных интересов математиков-теоретиков и кладовщиков на складе; они оперируют существенно разными определениями.

Изложение ТФ-концепции не было рассчитано на такое толкование слов, при котором кладовщики на складе будут считаться исследователями.
Abstraction
18 января 2012, 16:19

Р.Думминич написал: Упрек принимается, спасибо, но только в отношении слова «неограниченной». Ошибка легко исправима.

Ой ли? Из такого описания категорически непонятно, почему одни множества "существуют", а другие - нет. Скажем, множество чисел, описываемых менее чем шестнадцатью словами.

Р.Думминич написал: Изложение ТФ-концепции не было рассчитано на такое толкование слов, при котором кладовщики на складе будут считаться исследователями.

Ревизоры - вполне себе исследователи, по словарю.
Ну да ладно, есть специалисты по теории множеств и специалисты по, скажем, криптографии. Вторым описания натуральных чисел как объекта, удовлетворяющего аксиомам Пеано, хватает с головой - а вот первым нет.
Р.Думминич
19 января 2012, 13:32

Abstraction написал:
Р.Думминич написал: «материальная точка» описана как объект, сочетающий свойства математической точки и физического тела

Что такое "математическая точка"?

Это точка в том смысле, в котором ее понимают в математике (в любом из вариантов, в противоположность прежде всего «материальной точке» в физике и «точке» в бытовом словоупотреблении).

Abstraction написал (там же):
Р.Думминич написал: простая геометрическая точка – находящийся только в воображении объект, аналогичный очень маленькому пятну, но отличающийся от любого маленького пятна тем, что меньше его и не может быть разделен на разные части

Определите "аналогичный". Определите "меньше" - это что, отношение порядка на множестве... чего? Напоминаю, что множества всех объектов не существует в современных аксиоматиках. Определите "пятно". Определите "разделён" (если что, множество из одной точки является объединением множества из этой точки и пустого множества, их пересечение пусто).
Без этого исследователи объекта "геометрическая точка" от математики не в состоянии однозначно понять приведённое описание и, соответственно, оно не является точным описанием.

«Аналогичный», «меньше», «пятно», «разделён» - смысл этих слов можно поискать в словарях, если кому-то (почему-то) они непонятны.

Р.Думминич написал:
ТФ-концепция не является частью математики.
Если думать иначе, то могут возникнуть ошибки — скажем, требование доказательства новых теорем с помощью ТФ-концепции или
трактовка используемых в ее описании слов как плохо определенных математических терминов.

Попытка дать определение всем используемым словам, разумеется, была бы заведомо обречена на неудачу, поскольку в определении будут использоваться другие слова, которым опять потребуется определение, и т.д. В основном тексте ТФ—концепции вопросы такого типа были предусмотрены и была сформулирована занятая по ним позиция (см. ниже).

Р.Думминич написал (с.25-26 основного текста):  5.4. Что надо понимать под «символом»? ОТВЕТ. Вопрос интересный, но, к сожалению, не относится к теме настоящей работы. Мы считаем приемлемым использовать без разъяснений понятия, широко применяемые на практике, поскольку настоящая работа посвящена не им. И это, на наш взгляд, является вполне целесообразной границей объясняемого и необъясняемого в одной отдельно взятой работе.

Здесь имеется в виду, как видно из контекста, общая (не только математическая) практика деятельности и речи.
Что касается однозначности понимания, то мною были опрошены в разное время в общей сложности несколько десятков человек, имеющих разную степень отношения к математике. Ответили, что описание (см. выше) "простой геометрической точки" им вполне понятно, 100%. При этом никому из них определения обычных слов русского языка не потребовались.

Р.Думминич написал (с.12 основного текста):  Описание объектов мышления назовем точным, если оно, как правило, однозначно понимается исследователями, область профессиональных интересов которых включает описываемые объекты.

Таким образом, согласно данному определению, если объявится, скажем, один человек, который заявит, что он «не в состоянии однозначно понять приведённое описание», то погоды он не сделает.
Abstraction
19 января 2012, 14:05

Р.Думминич написал: На обсуждение ставится «ТФ-концепция» сущности математики.

Ну, тогда -

Лукерья написала: Чо сказать-то хотел?

То есть, предлагается методика объяснения сущности абстрактных объектов "на пальцах"? Так она не может быть универсальной, каждой конкретной группе нужны свои пальцы со своими уровнями абстракции, и попытка чохом переносить такого рода описания с одной группы на другую к проблемам будет приводить стабильно. И, разумеется, "пальцы" ни разу не помощники в строгих рассуждениях, так как помогать они не сильно помогают, а вот запутать могут капитально, как с множествами-мешками. Соответственно, и единственно верному пониманию "сущности" математики я пока в упор не вижу, как она способствует.
Р.Думминич
20 января 2012, 00:12

Р.Думминич написал (с.16 основного текста):
Характеристика числа 0 как граничной температуры по Цельсию между жидким и твердым состоянием воды.

Abstraction написал: В данном случае для температуры используется знак "0"; в любом случае, сущность "ноль поля вещественных чисел" в ней либо не фигурирует, либо характеристика ложна.

Это Ваше мнение выглядит весьма субъективным, по крайней мере, пока нет дополнительных пояснений. Можно подумать так, что Вы отвергаете числовые значения температуры вообще.

Abstraction написал: Из такого описания категорически непонятно, почему одни множества "существуют", а другие - нет. Скажем, множество чисел, описываемых менее чем шестнадцатью словами.

Согласен, из описания объекта "множество" это непонятно, но не только это — например, из него непонятно, верна ли (бывшая) гипотеза континуума и многие другие теоремы о множествах.
Описание объекта ведь не претендует на то, что само по себе ответит на все вопросы о нем. Для ответов нужны исследования.

Abstraction написал: Также, описано "множество" наподобие множества теории Кантора, являющегося объектом противоречивой аксиоматики.

Р.Думминич написал (с.13 основного текста): б) дополнение описания … путем указания свойств, постулируемых для объектов мышления...

Обсуждаемое описание можно дополнить такой аксиоматикой для теории множеств, которую до сих пор не обвиняли в противоречивости.
Р.Думминич
27 января 2012, 12:35

Лукерья написала: Исследование же к математике не имеет никакого отношения, потому что занимается изучением реальных объектов.

Согласен с Вами в том, что математика не занимается изучением реальных объектов.
Но теперь о правомерности употребления слова «исследование» по отношению к математике. Открываю наиболее массовый учебник последних десятилетий по этому предмету для 10-11 классов «Алгебра и начала анализа» (авторы Ш.А.Алимов и др.). У меня в руках 8-е издание (2000 г., но учебник переиздается и «работает» в школах и поныне). Оглавление, глава IX: “Применение производной к исследованию функций”. В России уже несколько десятилетий большинство взрослых носителей языка имеет образование среднее или выше. Они, стало быть, многократно слышали выделенное словосочетание от учителей и, не будучи математиками, употребляли его сами. Процесс шел так же и до упомянутого учебника. Открываю учебное пособие (для подготовительных отделений вузов) с таким же названием, автор А.Г.Мордкович. У меня в руках 2-е издание (1987 г., 1-е было в 1979 г.). Оглавление, глава 8, §5: «Применение дифференциального исчисления к исследованию функций». Таким образом, словосочетание давно перестало быть только термином для профессионалов-математиков. Посмотрим количественные данные, которые дает поисковик.

Кстати, словосочетание «исследование функций» не является каким-то исключением, а лишь идет первым среди целого ряда широко распространившихся за пределы математики и прочно вошедших в языковую практику словосочетаний - таких, как «исследование устойчивости решений системы», «исследование сходимости ряда» и др. Надеюсь, сказанного достаточно, чтобы убедиться: язык в своей практике совсем не «считает» обязательным употреблять слово «исследование» только по отношению к реальным объектам. Есть, однако, и другой пласт аргументации, который пока оставлю в запасе.
Р.Думминич
5 февраля 2012, 11:13

Abstraction написал:

Р.Думминич написал: Фактически Вы возражаете Ж.Дьедонне. Вы всерьез думаете, что он плохо разбирался в основных математических понятиях (в частности, ошибочно отнеся к ним понятие пространства)?

Я задаю вопрос к приведённой фразе. Я не знаю, как она звучала в оригинале и не имею возможности спросить господина Дьедонне, что он подразумевал. Но Вы приводите данную цитату так, как если бы понимали её смысл и были с ним согласны. Вот у Вас я этот смысл и уточняю, потому как мне он - пока, - недоступен совершенно явно.

Хорошо, но потребуется «много букв»!
Во-первых, я исхожу из принципа презумпции правильности перевода (в соответствии с которым бремя обоснования лежит на том, кто выдвинет подозрения в его неправильности; при ином подходе мы вообще не могли бы пользоваться готовыми переводами). Для интересующихся оригиналом привожу его данные (беру из сайта с русским переводом ): Par Jean Dieudonne. L' abstraction et l'intuition matliematique. Tire a part de «Dialectica», Revue internationale de philosophie de la connaissance Vol. 29 №1 [1975] Case postale 1081, 2501 Bienne [Suisse] .
Далее изложу мое понимание замечания Ж.Дьедонне - сначала в целом, а потом по деталям. Но прежде — цитата полностью (состоящая не из одного, а из двух связанных по смыслу предложений).

Р.Думминич написал (с.4 основного текста):
"Никто, конечно, не думает отрицать, что источником основных математических понятий, таких, как число или пространство, является чувственный опыт. … Однако необходимо сразу же отметить одно обстоятельство, которое, на мой взгляд, недостаточно учитывается: математические объекты, претендующие на выражение этих опытных понятий, наделяются математиками такими свойствами, которые явно выходят за пределы опыта" - Ж.Дьедонне.
Полемическое остриё замечания Ж.Дьедонне направлено против весьма распространенной точки зрения, согласно которой математика занимается изучением реальных объектов (вариант: изучением их некоторых аспектов; часто упоминают такие аспекты, как пространственные формы и количественные отношения). Эта точка зрения подробно обсуждается в основном тексте ТФ-концепции (п.1.2 и 5.1). В настоящей дискуссии никто из участников в пользу этой точки зрения пока не высказывался (что приятно), однако она до сих пор занимает сильные позиции в литературе (энциклопедии, учебники, статьи, диссертации и т.д.), а при жизни Ж.Дьедонне ходила чуть ли не в лидерах.
Крупные представители этой точки зрения признают наличие таких математических объектов, с которыми трудно сопоставить что-либо реальное. Однако они апеллируют к происхождению всех математических объектов, прямо или косвенно, из реального опыта и считают это достаточным для своего вывода. Ситуацию можно полушутя сравнить с такой: обнаружив, что некий Христофор Феофилактович является внуком Флоры Панкратовны, некто заявляет: Христофор Феофилактович? Знаю, знаю, это такая Флора Панкратовна!
Ж.Дьедонне в первой части своего замечания признаёт происхождение математических объектов (по крайней мере, упомянутых им) из опыта, но во второй — выделяет такую их особенность (наличие свойств, явно выходящих за пределы опыта), которая не позволяет объяснять их сущность таким происхождением. Если это замечание Ж.Дьедонне принять, то от вышеупомянутой оппонирующей точки зрения мало что остаётся.
Замечу от себя, что и в жизни, и в философии те, кто пытается объяснять сущность какого-либо объекта происхождением, обычно выделяют лишь часть «предков» данного объекта, игнорируя других его «предков» (так в примере с Христофором Феофилактовичем «некто» забыл ни много ни мало - о существовании трех бабушек и дедушек из 4).
Таково понимание замечания Ж.Дьедонне в целом. В другом посте поговорим о деталях.
Р.Думминич
12 февраля 2012, 10:57

Р.Думминич написал: Таково понимание замечания Ж.Дьедонне в целом. В другом посте поговорим о деталях.

Итак, о деталях (продолжение предыдущего поста).

Abstraction написал: Ок. Бурбаки, "Теория множеств", страница 31 нового издания. "Логические знаки", "буквы", "знакосочетания". Не совсем чувственный опыт, но вещи вполне мыслимые и легко представимые.
Там же, страница 117 - вывод "аксиомы выбора" из свойств перечисленного выше. Она вполне явно не относится к вещам, источником которых может быть чувственный опыт.
Другими словами, определите для начала "основные математические понятия".

Для «срабатывания» рассуждения Дьедонне, очевидно, неважно, какие именно математические объекты и в каком смысле будут упомянуты в качестве «основных». Есть, в принципе, некоторые математические объекты, которые по происхождению связаны с опытом (прежде всего «основные», по поводу прочих Ж.Дьедонне ничего не говорит). Это первая часть замечания Дьедонне, «признательное показание». Далее идет вторая часть замечания - «алиби»: даже они, «родственные» опыту объекты, обладают свойствами, выходящими за пределы «опыта».

Можно понять попытки оспаривать происхождение некоторых математических объектов из опыта. Дьедонне, однако, не спорит с «происхождением»: этим он ограничивает «контригру» своих оппонентов и идет к цели самым коротким путем. Допустим, что гражданина Д. подозревают в причастности к чему-то нехорошему, основываясь на его якобы родственных и приятельских связях с обвиняемым. При наличии стопроцентного алиби зачем гражданину Д. утомляться, оспаривая связи, если можно просто предъявить алиби и решить вопрос немедленно?!

Abstraction: Вдобавок, "пространство" не является математическим понятием, насколько мне известно.

Что ж, заглянем в разные книги.

1. Большая Советская Энциклопедия, статья «Геометрия»:
а) «термин « пространство» имеет в науке два смысла: с одной стороны, это обычное реальное пространство, с другой — абстрактное «математическое пространство»»;
б) «Принципиальный шаг был сделан Б.Риманом (лекция 1854, опубликована 1867). Во-первых, он ясно формулировал обобщённое понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений».

2. Рихард Курант. Математика в современном мире. // Вступительная статья к сборнику «Математика в современном мире». М., Мир, 1967:
«такие математические понятия, как «точка», « пространство», «число» и «функция»...».

3. Л.С.Атанасян и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2000. С.4: «Ясно, что в каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости».

4. Родин А.В. Теория категорий и поиски новых математических оснований физики. - "Вопросы философии" №7, 2010:
«...современное математическое понятие пространства как бесконечного множества точек, снабженного дополнительной структурой ».

Таким образом, понятие «пространство» в математике бесспорно существует.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Наконец, кто-нибудь мог бы еще возразить, что в геометрической аксиоматике Д.Гильберта неопределяемыми понятиями, для которых сформулированы аксиомы, являются точка, прямая и плоскость, но не пространство. И, стало быть, именно точка, прямая и плоскость, но не пространство, заслуживают звания «основных» математических понятий (в геометрии).
Отвечу: однако же никто и не отменял использования слова «основные» не в специальном, а в обычном смысле этого слова. Пример аналогичной ситуации: слово «решение» в специальном смысле (решение уравнения или неравенства) может пониматься как число, но этим не отменяется возможность использовать его в обычном смысле - как результата работы над проблемой или записи этого результата. В случае с неопределяемыми понятиями имеется еще одно существенное обстоятельство: математики достаточно часто называют их не «основными», а «первичными». Примеры в спойлере.   Спойлер!
1. А.Я.Хинчин. Педагогические статьи. М.: АПН РСФСР, 1963: «В системе первичных элементов геометрии, предложенной Гильбертом и пользующейся наибольшим признанием в современной науке, в качестве первичных понятий принимается точка, прямая линия и плоскость ».
2. А. П. Киселёв. Геометрия. Стереометрия. Учебник для 9-10 классов. 1970 г.: «"Точка", " прямая" и " плоскость" и принимаются за такие первичные, неопределимые геометрические понятия».
3. Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Математика без формул. Кн.1, 2010 г.: «Так по ходу своего анализа мы добрались до первичных геометрических понятий, о которых идет речь в аксиомах геометрии: « точка» и «прямая», «лежать» и «между» ».
4. А. Г. Мехед (учитель математики, победитель конкурса «Учитель года России-2007»): «Таким образом, существуют так называемые неопределяемые первичные понятия: точка, прямая, плоскость и так далее, на взаимных отношениях которых строится математическая наука».
Итак, вполне правомерно понимать слово «основные» в замечании Ж.Дьедонне не в специальном смысле (неопределяемые), а в обычном смысле (важнейшие). Дополнительное подтверждение можно получить в той же работе Ж.Дьедонне (Абстракция и математическая интуиция // Математики о математике. М.: "Знание". 1982), где приводятся различные примеры определяемых в математике пространств:
а) «в геометрии переход от пространства R2 к Rn»;
б) «исходил из теории квадратичных форм с n переменными и, переходя к пределу, вывел из неё теорию пространств, названных гильбертовыми»;
в) «Затем, естественно, пошли много дальше и перешли к более сложным пространствам, таким, как банаховы и локально выпуклые пространства».
Р.Думминич
19 февраля 2012, 11:36

Лукерья написала:

Р.Думминич написал: Но ведь аксиомы, на которые опирается, скажем, геометрия Евклида, почти всегда старались увязать именно с основанной на опыте очевидностью.

Это не значит, что оно верно для всех аксиом.


Р.Думминич написал: Это возражение или нейтральное замечание?

Поскольку за истекший месяц ответ на вопрос не появился, отвечу на высказанное Лукерьей как на возражение (тем более что это соответствует общему направлению ее поста). Возражение ёмкое, допускающее несколько толкований. Разберем основные.

1. Буквальное толкование.
Из сказанного по поводу аксиом Евклида не следует, что сказанное верно для других аксиом.
Логическая структура такого возражения аналогична следующей.
Утверждение: сегодня я получил пятерку.
Возражение: однако из этого не следует, что сказанное верно для других дней.

Итог: «возражение» представляет собой тривиальность и по существу возражением не является, вопреки своей внешней форме.

2. Толкование с подразумеваемым дополнением.
Для некоторых аксиом (не входящих в аксиоматику Евклида) сказанное по поводу аксиом Евклида неверно, в связи с чем неверен и тот тезис, который был целью приведенного высказывания Р.Думминича.
Давайте разбираться. Придется привести отрывок основного текста ТФ-концепции (с.5) полнее:
Ключевым для настоящей работы является соображение Ж.Дьедонне, приведенное в 8-м эпиграфе. Спрашивается, где же формулируются свойства «математических объектов», «явно выходящие за пределы опыта», о которых он пишет? В аксиомах? Но ведь аксиомы, на которые опирается, скажем, геометрия Евклида, почти всегда старались увязать именно с основанной на опыте очевидностью.
Смысл данного отрывка (с поясняющими дополнениями) в логическом аспекте:
а) принимается соображение Ж.Дьедонне, приведенное в 8-м эпиграфе (важнейшие математические объекты наделены в математике свойствами, явно выходящими за пределы опыта);
б) предположение, что стандартным местом для формулирования свойств, о которых идет речь, являются аксиомы, опровергается контрпримером: в геометрии Евклида (дававшей образец аксиоматики в течение тысячелетий) важнейшие понятия наделяются вышеуказанными свойствами никак не с помощью аксиом, поскольку аксиомы Евклида почти всегда увязывались именно с опытом.

Теперь допустим, что, в соответствии с толкованием №2, какие-нибудь другие аксиомы (не Евклида) не увязывались с основанной на опыте очевидностью. И что же? Это никак не затрагивает логическую цепочку, составляющую приведенный выше отрывок, и его правильность.
Итак, позиции 1-го и 2-го толкований возражения Лукерьи по отношению к тексту ТФ-концепции примерно одинаковы.

Если удастся сформулировать еще одно толкование, то оно будет рассмотрено в другом посте.
Beltran
19 февраля 2012, 13:00
.
Р.Думминич
25 февраля 2012, 21:17

Abstraction написал:

Р.Думминич написал: простая геометрическая точка – находящийся только в воображении объект, аналогичный очень маленькому пятну, но отличающийся от любого маленького пятна тем, что меньше его и не может быть разделен на разные части

...
Определите "разделён" (если что, множество из одной точки является объединением множества из этой точки и пустого множества, их пересечение пусто).

Здесь можно усмотреть намек, что множество, состоящее из одного элемента - точки, может быть разбито на две разные части: самоё себя и пустое множество. С этим утверждением я согласен, но что дальше?
А дальше замечу, что:
а) элемент множества — вообще говоря, отнюдь не то же самое, что всё множество; это верно и для одноэлементных множеств;
б) прежде, чем обсуждать множество, состоящее из одного элемента — точки, резонно было бы обсудить, кто такая эта «точка».

Таким образом, намёк, возможно, применим по поводу некоторого одноэлементного множества, но никак не работает в качестве возражения против вышеприведенного описания простой геометрической точки.

Дополнение (для тех, кому интересно).
В запасе имеется другой способ справиться с возражением, основанным на понятии пустого множества. Для этого достаточно вставить в описание одно слово: «и не может быть разделен на три разные части». Однако это представляется мне излишним. Слова «пятно» и «разделен» в описании простой геометрической точки не являются математическими терминами (см. выше), а используются в общеупотребительном смысле. И в этом смысле, например, мы не говорим, что разделили с гостем трапезу, если на самом деле поставили перед ним пустую тарелку. Аналогично обстоят дела и со словом «разбить»: в математике вполне принято такое определение этого термина, при котором можно разбить множество на две части, одна из которых пуста, а вторая совпадает с «разбиваемым» множеством. Однако в общеупотребительном смысле мы не говорим, что разбили чашку, если одна из «частей» - это вся чашка.
Р.Думминич
17 марта 2012, 17:54

Abstraction написал:

Р.Думминич написал: Описание объектов мышления назовем точным, если оно, как правило, однозначно понимается исследователями, область профессиональных интересов которых включает описываемые объекты.

Описание словесной формулы "натуральное число" не является точным

Abstraction написал: есть специалисты по теории множеств и специалисты по, скажем, криптографии. Вторым описания натуральных чисел как объекта, удовлетворяющего аксиомам Пеано, хватает с головой - а вот первым нет.

Попробуем разобраться.
Р.Думминич написал (с.12-13 основного текста):

ПРИМЕРЫ некоторых типов описаний, которые могут быть точными:
а) ...
б) изображение (или название) натурального числа;

Здесь имеются в виду, конечно, такие изображения, как «1», «2», «3» и т.п. (а также названия «один», «два», «три» и т.п.), которые описывают отдельные натуральные числа.
Для ТФ-концепции важно следующее: если специалисту по теории множеств или специалисту по криптографии сказать: число «3», то будет ли это, как правило, однозначно понято им? Полагаю очевидным, что ответ в обоих случаях, как правило, положительный.

Можно поговорить и об общем понятии «натуральное число» (пример описания этого объекта в основном тексте ТФ-концепции не приводился).
В основном тексте (с.14) цитируется работа проф. В.А.Успенского «Семь размышлений на темы философии математики» (и работу, и сведения о биографии Владимира Андреевича Успенского можно найти в интернете). Три из семи тем его размышлений звучат так:
- Можно ли определить понятие натурального числа?
- Можно ли определить Натуральный Ряд?
- Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда?
На все три вопроса В.А.Успенский дает в этой работе обоснованный отрицательный ответ.

В математике принято объяснять понятие натурального числа так: это числа 1,2,3,4,5 и т. д. (что не противоречит размышлениям В.А.Успенского; более того, это почти цитата из его работы). Фактически перед нами вариант описания объекта «натуральное число».
Для ТФ-концепции важно следующее: если специалисту по теории множеств или специалисту по криптографии сказать: числа «1», «2», «3», «4», «5» и так далее называются натуральными, то будет ли это, как правило, однозначно понято им? Полагаю очевидным, что ответ в обоих случаях, как правило, положительный.

Таким образом, никаких проблем с однозначностью понимания предложенных описаний ни у специалистов по теории множеств, ни у специалистов по криптографии, как правило, не ожидается. Повторю, что однозначность понимания описания объекта не заменяет собой результатов дальнейших исследований этих объектов.
Итог: предложенные описания являются точными, а предъявленные возражения в связи с вышесказанным отклоняются.
Р.Думминич
7 апреля 2012, 18:20

Abstraction написал: Например, я не вижу примеров точных описаний объектов мышления, хотя существование таковых утверждается.

Такими примерами являются, в частности, описания натуральных чисел (с.13 основного текста ТФ-концепции). Возражения относительно точности этих описаний были аргументированно отклонены в предыдущем посте.
На с.14-15 основного текста ТФ-концепции приведено еще 6 примеров описаний, одновременно отвлеченных и точных. По отношению к ним в настоящем треде имеется возражение только по поводу точности описания «простой геометрической точки». Однако этому возражению (которое косвенно распространяется еще на 4 из 6 описаний, связанных с предыдущим), были противопоставлены существенные контраргументы в постах 19 января 2012 и 25 февраля 2012. Никаких новых возражений по этому поводу на данный момент не поступало.
Замечу, что с самого начала обсуждения не поступало никаких возражений (ни прямых, ни косвенных) против точности описания «простого произвольного объекта», данного на с.14 основного текста.
Можно заключить, что при объективном взгляде на проблему в настоящее время невозможно «не увидеть» примеров точных описаний объектов мышления.
Kora Lina
25 апреля 2012, 20:54

Р.Думминич написал: Посмотрим количественные данные, которые дает поисковик.

А что эти "количественные данные" доказывают? Кавычки-то при поиске не поставлены. Значит, в статистику включены тексты, содержащие не приведенное словосочетание, а поисковые слова независимо от их взаимного расположения в тексте.
Р.Думминич
28 апреля 2012, 11:04

Kora Lina написала: Кавычки-то при поиске не поставлены.

Согласен, надо было поставить кавычки.

Kora Lina написала: А что эти "количественные данные" доказывают?

Они не должны были ничего доказывать, а лишь служить иллюстрацией к объяснению. Фраза, где упоминались эти данные, завершала абзац о законности словосочетания «исследование функций». Основное рассуждение этого абзаца и даже вывод из него были сделаны до фразы и полностью остаются в силе.
Да, иллюстрация получилась неудачная. Постараюсь исправить ее в одном из ближайших постов.
Р.Думминич
18 мая 2012, 10:15

Р.Думминич написал: Основные направления применения ТФ-концепции : ... б) правильное взаимодействие математики с другими науками;

Abstraction написал:

Р.Думминич написал: Имеется в виду взаимодействие без таких ошибок, одной из причин которых является неверное понимание сущности математики.

Такую причину можно утверждать для любой ошибки.

Противопоставлю последнему утверждению три контрпримера.

Контрпример 1. Задача: во сколько раз увеличится масса фанерного круга, если его радиус увеличить в 2 раза? Решающий понимает, что масса фанерной фигуры определяется ее площадью, но думает, что площадь круга пропорциональна радиусу. Его ответ: в 2 раза.
В данном примере причиной ошибки было заблуждение по поводу математических свойств модели, а вовсе не неверное понимание сущности математики

Контрпример 2. Задача та же. Однако на этот раз решающий помнит формулу площади круга, но не понимает, что именно площадь определяет массу фанерной фигуры. Его возможный ответ: в 2 раза.
В данном примере причиной ошибки было конкретное заблуждение при сопоставлении модели и явления, а вовсе не неверное понимание сущности математики.

Контрпример 3. Требуется найти скорость падения верхнего конца палки, стоявшей наклонно у стены, если палку потянули от стены за нижний конец равномерно и перпендикулярно стене. Простая математическая модель показывает стремление скорости верхнего конца палки к бесконечности. Если исследователь знает физическое ограничение скорости, то, вероятно, займется поисками объяснения противоречия между этим ограничением и полученным результатом. Если же исследователь не знает физического ограничения скорости (скажем, задача поставлена в середине 19 века), то он может не увидеть ничего незаконного в полученном результате и предъявит его в качестве окончательного.
В данном примере причиной ошибки исследователя 19-го века было заблуждение по поводу свойств изучаемого явления, а вовсе не неверное понимание сущности математики.

Конечно, для опровержения утверждения моего оппонента было бы достаточно одного контрпримера. Но хочется, где возможно, продемонстрировать запас надежности, имеющийся у ТФ-концепции сущности математики.
Р.Думминич
15 июня 2012, 09:57

Р.Думминич написал: Да, иллюстрация получилась неудачная. Постараюсь исправить ее в одном из ближайших постов.

Напомню начало данной линии разговора.

Лукерья написала: Исследование же к математике не имеет никакого отношения, потому что занимается изучением реальных объектов.

Возражения (их можно называть и опровержением, если угодно) были даны в моем посте от 27 января 2012. Именно там была приведена неудачная иллюстрация (поиск шел без кавычек).
Ниже в одном изображении показаны данные поиска по запросам «исследование функций» и «исследование металлов» с кавычками. Надеюсь, разница на полтора порядка в пользу «незаконного» словосочетания достаточно впечатляет. По запросам «исследование газов» и «исследование грунтовых вод» (с кавычками) я получил 4000 и чуть более 1200 документов соответственно против 165000 по запросу «исследование функций».
Лукерья
15 июня 2012, 10:08

Р.Думминич написал: По запросам «исследование газов» и «исследование грунтовых вод» (с кавычками) я получил 4000 и чуть более 1200 документов соответственно против 165000 по запросу «исследование функций».

Забавная у тебя линия аргументации. Слушай, а стово "триугольник" (именно в таком написании) набирает в поиске 650 тыщ документов. Это что, означает правильность такого написания?
Р.Думминич
22 июня 2012, 15:04

Лукерья написала:

Р.Думминич написал: По запросам «исследование газов» и «исследование грунтовых вод» (с кавычками) я получил 4000 и чуть более 1200 документов соответственно против 165000 по запросу «исследование функций».

Забавная у тебя линия аргументации. Слушай, а стово "триугольник" (именно в таком написании) набирает в поиске 650 тыщ документов. Это что, означает
правильность такого написания?

В моем высказывании, которое Вами процитировано, уважаемая Лукерья, предлагается сравнение результатов поиска. Поскольку в Вашей остроумной «аналогии» сравнение не проведено, пришлось мне его провести самому.    Спойлер!
Можно не благодарить. smile4.gif
Жаль, правда, что не было указано, какой поисковик Вами использовался. Но ничего, переживем. Вот результаты поиска в Гугл (сокращенное изображение обоих скриншотов рядом приведено ниже):
триугольник - результатов примерно 28 100;
треугольник - результатов примерно 44 800 000.
Видим, что по количеству использований слово «триугольник» набирает менее одной десятой доли процента по сравнению со словом «треугольник». Таким образом, практика письменной речи в интернете не подтверждает «правильности такого написания» ©.
Лукерья
23 июня 2012, 10:55

Р.Думминич написал: Видим, что по количеству использований слово «триугольник» набирает менее одной десятой доли процента по сравнению со словом «треугольник». Таким образом, практика письменной речи в интернете не подтверждает «правильности такого написания»

Ты не понял. Она вообще нихрена не подтверждает и не опровергает. Тем более в математике. Это просто не аргумент.
Р.Думминич
23 июня 2012, 15:48
Обнаружена опечатка.
В книге Дж.Литлвуда "Математическая смесь" фамилия автора напечатана именно так, хотя в оригинале Littlewood.
ОБЪЯВЛЕНИЕ об исправлении №2
Фамилию «Литтлвуд» на с.18,19,29 основного текста ТФ-концепции просьба в дальнейшем читать «Литлвуд».
Чокки
23 июня 2012, 23:01
Мне неясно, зачем топикстартеру до гротеска наукообразный тон, учитывая, собственно, содержание. Не поясните?
Товарищ Думминич, вы, главное, не врач? Системы управления самолетами не делаете, скажите пожалста?
nikvic
23 июня 2012, 23:15

Р.Думминич написал: Контрпример 3. Требуется найти скорость падения верхнего конца палки, стоявшей наклонно у стены, если палку потянули от стены за нижний конец равномерно и  перпендикулярно стене. Простая математическая модель показывает стремление скорости верхнего конца палки к бесконечности.

Автор контрпримера - "физический" дилетант.
Р.Думминич
25 июня 2012, 10:52

nikvic написал:

Р.Думминич написал: Контрпример 3. Требуется найти скорость падения верхнего конца палки, стоявшей наклонно у стены, если палку потянули от стены за нижний конец равномерно и  перпендикулярно стене. Простая математическая модель показывает стремление скорости верхнего конца палки к бесконечности.

Автор контрпримера - "физический" дилетант.

Хотелось бы прочитать Вашу критику непосредственно самого контрпримера по существу. При этом прошу обратить внимание на слово «Простая» в тексте контрпримера. Готов пояснить, какой смысл вкладывался в это слово, если будет такое пожелание.
Лухомарин
25 июня 2012, 12:06

Р.Думминич написал:
Хотелось бы прочитать Вашу критику непосредственно самого контрпримера по существу.

Если ликвидировать стену, то какую скорость падения покажет "простая математическая модель"?
Р.Думминич
30 июня 2012, 15:06

Р.Думминич написал: Простая математическая модель показывает стремление скорости верхнего конца палки к бесконечности.

Имеется в виду простая модель, в которой отрезок перемещается так, что каждый его конец движется по своей стороне прямого угла.
Таким образом, «если ликвидировать стену» (© Лухомарин), то эта модель будет неприменима.
Повторю, что жду критику контрпримера 3 по существу.
Лухомарин
30 июня 2012, 15:44

Р.Думминич написал: Имеется в виду простая модель, в которой отрезок перемещается так, что каждый его конец движется по своей стороне прямого угла.

Такую математическую абстракцию и в 19-м веке никто не принял бы за модель чего-то реального. Хотя бы потому что палка, опирающаяся о стену, никак не может падать быстрее той же палки при отсутствии стены. В данном примере причиной ошибки было конкретное заблуждение при сопоставлении модели и явления, а вовсе не заблуждение по поводу свойств изучаемого явления.
Solmir
30 июня 2012, 15:44

Р.Думминич написал:
Имеется в виду простая модель, в которой отрезок перемещается так, что каждый его конец движется по своей стороне прямого угла.

Простая не значит правильная. Через какое-то время сила давления со стороны вертикальной стенки или со стороны горизонтального пола занулится и контакт пропадет.
Р.Думминич
30 июня 2012, 21:23

Solmir написал: Простая не значит правильная. Через какое-то время сила давления со стороны вертикальной стенки или со стороны горизонтального пола занулится и контакт пропадет.

Согласен. Поэтому и

написал:
В данном примере причиной ошибки  было заблуждение по поводу свойств изучаемого явления


Лухомарин написал: Такую математическую абстракцию и в 19-м веке никто не принял бы за модель чего-то реального

Вы настаиваете на выделенном слове?
Лухомарин
30 июня 2012, 21:51

Р.Думминич написал: Вы настаиваете на выделенном слове?

Да. Никто из исследователей, в "контрпримере" речь о них.
Лукерья
1 июля 2012, 00:24
Ой, ну что вы в самом деле. Все совершенно правильно. В математике можно создавать совершенно любые модели, включая те, в которых конец палки будет двигаться со скоростью выше скорости света. И все они будут математически верны. Именно потому, что основная посылка ТС ложна: математика не имеет совершенно никакого отношения к реальному миру, и может моделировать все что угодно, в том числе системы, в которых нет никаких ограничений по скорости, давлению со стороны стен, трения, итд. Где палка со стеной падает быстрее, чем без стены, или даже где она на полдороге передумывает и улетает на юг на зиму. То, что такое не случается в реальных ситуациях ничего не значит с точки зрения математики. Пока рассуждения последовательны и соответствуют выбранным посылкам, и равенства не нарушены, ошибки нет.

Но именно потому, что она (математика) может моделировать все что угодно, создавая бесконечное количество моделей (из которых бесконечное же число совершенно бесполезны) у нас есть возможность выбрать такие, которые с приемлимой точностью моделируют поведение некой интересующей нас системы. В данном случае, с давлением, балансом сил итп. Причем в зависимости от наших задач мы можем рассматривать кучу самых разных моделей. От самой простой, где палка вообще не палка а физическая точка, и до самой сложной, учитывающей все подробности поверхности как стены так и палки, и даже расположение индивидуальных молекул. То есть это не математика моделирует какие-то там реальные вещи, а мы выбираем такие модели (из бесконечного числа возможных, и всех одинаково верных с математической точки зрения), которые можно натянуть на наши задачи.
Чокки
2 июля 2012, 05:00

Лукерья написала: Ой, ну что вы в самом деле. Все совершенно правильно. В математике можно создавать совершенно любые модели, включая те, в которых конец палки будет двигаться со скоростью выше скорости света. И все они будут математически верны.  Именно потому, что основная посылка ТС ложна: математика не имеет совершенно никакого отношения к реальному миру, и может моделировать все что угодно, в том числе системы, в которых нет никаких ограничений по скорости, давлению со стороны стен, трения, итд.

Совершенно верно. Очень трудно убедить в этом абсолютно ключевом моменте людей, которые никогда не решали ни задач по математике, ни задач по физике.
По сути та же проблема может преследовать экспериментаторов, которым, бывает, очень хочется найти теоретическое объяснение явлению, которое бы уложилось в их знание теории.

Приведу пример прямиком из того, над чем я сейчас работаю. Имеется (очень) тонкая мембрана при некоторых граничных условиях. При любой ненулевой температуре, чтобы удовлетворять теореме Мермина-Ландау, такая мембрана обязана быть покрытой "морщинами", она не может быть абсолютно плоской. Теперь само явление: если к мембране (неважно где, хоть в центре, хоть по всей плоскости) приложить внешнюю синусоидальную силу определенной частоты, имеет место не самый интуитивный и на первый взгляд волшебный результат: она разглаживается. Если считать отклик мембраны строго гармоническим (стохастика и эффект внешней силы можно тупо складывать), для адиабатического процесса нет никакой возможности объяснить явление. Находясь внутри уже созданной математической модели, задача неразрешима. Математика сама по себе верна, но описывает качественно другой процесс. Стоит лишь изменить физическую картину и допустить рассеяние энергии (будь то в самой мембране, или на ее границе), как основной механизм происходящего становится предельно ясным.
Vasillyy
2 июля 2012, 12:17

Лукерья написала:  Именно потому, что основная посылка ТС ложна: математика не имеет совершенно никакого отношения к реальному миру, и может моделировать все что угодно, в том числе системы, в которых нет никаких ограничений по скорости, давлению со стороны стен, трения, итд.

Ой, передёрг, из второй части никак не следует первая. Математика - и есть реальный мир (знаю, знаю - спорно), поскольку позволяет моделировать любое явление. Вопрос в корректности модели.
Лукерья
2 июля 2012, 23:21

Vasillyy написал: Математика - и есть реальный мир (знаю, знаю - спорно), поскольку позволяет моделировать любое явление.

Не просто спорно, а совсем не верно. По такой логике бумага это человек, потому что на ней можно картинку любого человека нарисовать или распечатать. Математика позволяет моделировать не только любое явление, но и любое не-явление, все, чего быть в принципе не может. Моделирование явлений это просто частный случай из бесконечного количества возможных моделей.

Vasillyy написал: Вопрос в корректности модели.

Нет такого вопроса. Вопрос в выборе пригодной для наших задач модели из бесконечного числа возможных. Они все корректные, пока принятые аксииомы не нарушены и рассуждения последовательны. Независимо от их пригодности в реальном мире. То, что ты называешь корректностью модели, это всего навсего то, насколько выбранные тобой посылки отвечают стоящей перед тобой задаче. Это вообще не проблема математики. Это твоя проблема.
Дальше >>
Эта версия форума - с пониженной функциональностью. Для просмотра полной версии со всеми функциями, форматированием, картинками и т. п. нажмите сюда.
Invision Power Board © 2001-2016 Invision Power Services, Inc.
модификация - Яро & Серёга
Хостинг от «Зенон»Сервера компании «ETegro»